Եռանկյունաչափության տարրեր

Դիտարկենք կոորդինատների սկզբնակետում կենտրոն և մեկ միավորի հավասար շառավիղ ունեցող շրջանագիծ (միավոր շրջանագիծ): Միավոր շրջանագծի վրա նշենք P0 (1;0) կետը (նկ.1): OP0 շառավիղը կոչվում է սկզբնական շառավիղ:

Եթե սկզբնական շառավիղը պտտվում է O կետի շուրջը ժամի սլաքի ուղղությամբ, ապա պտտման անկյունը համարվում է բացասական, իսկ եթե սկզբնական շառավիղ պտտվում է O կետի շուրջը ժամի սլաքին հակառակ, ապա պտտման անկյունը համարվում է դրական: Սկզբնական շառավիղը O կետի շուրջը α անկյունով պտտելիս P0 (1;0) կետը անցնում է Pα կետ

ին:

Pα կետի օրդինատը կոչվում է α անկյան սինուս, իսկ աբսցիսը` α անկյան կոսինուս:

α անկյան տանգենս է կոչվում α անկյան սինուսի հարաբերությունը կոսինուսին:

 α անկյան կոտանգենս է կոչվում α անկյան կոսինուսի հարաբերու- թյունը սինուսին:

Մեկ ռադիանի անկյունը այն կենտրոնական անկյունն է, որը շրջա- նագծից անջատում է նրա շառավղին հավասար երկարությամբ աղեղ:

1 ռադ = 180 /π, 1*= 180/ π = ռադ, մասնավորապես` 180* = π ռադ.:

Եռանկյունաչափական հիմնական բանաձևերը

sin2x + cos2x = 1

tgx           =           sinx

cosx

ctgx         =           cosx

sinx

tgx ctgx = 1

tg2x + 1                  =           1

cos2x

ctg2x + 1                =           1

sin2x

Եռանկյունաչփություն

1) Ctg2x=0

2x=П/2+Пк

x=П/4+Пк/2

2) Соsx=0

X=П/2+2Пк

3) Sinx+cosx=0

4) Tgx=-1

X=-П/4+Пк

5) Cos^2x=1/2

1+cos2x=1

cos2x=0

x=П/4+Пк/2

6) Cos(2x-П/3)=0

2x-П/3=П/2+Пк

2x=5П/6+Пк

x=5П/12+Пк/2

7) (tgx-1)cosx=2(tgx-1)

(tgx-1)(cosx-2)=0

tgx=1 x=П/4+Пк

cosx=2 չի բավարարում

8) sin2x=1

2x=П/2+2пк

x=П/4+Пк

9) сos2x= -1

2x=П +2Пк

x=П/2+Пк

10) sin2x=-1

2x=-П/2 +2Пк

x=-П/4+Пк

Եռանկյան ֆունկցիաներ ` միավոր շրջանագիծ, տրված կենտրոնով և շառավիղով շրջանագծի հավասարումը

Սահմանում - Կորդինատային հարթության վրա 1 շառավիղով և (0,0) կենտրոնով շրջանագիծը անվանում են միավոր շրջանագիծ :

sinα = BD/OD = y/1 = y

cosα = OD/OB = x/1 = x

tgα = BD/OD = y/x

ctgα = OD/BD = x/y

Սահմանում OA սկզբական շառավիղի o կետի α պտույտի արդյունքում գրվում է OB դիրքը

sinα - կոչվում է  B կետի օռդինատ

cosα - կոչվում է B կետի աբցիս

tgα - կոչվում է B կետի օրդինատի հարաբերությունը աբցիսին

ctgα - կոչվում է B կետի աբցիսի հարաբերությունը օրդինատին

Սինուսը , կոսինուսը, տանգեսը և կոտանգեսը կոչվում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ:

-1≤ sinα ≤ 1

-1≤ cosα ≤ 1

1) Եթե α = 2πK ապա sinα = 0 cosα = 1 tgα = 0 ctgα = գոյություն չունի

2) Եթե α =π/2 + 2πK ապա sinα = 1 cosα = 0 tgα = գ.չ. ctgα = 0

3) Եթե α = π + 2πK ապա sinα = 0 cosα = 1 tgα = 0 ctgα = գոյություն չունի

4) Եթե α = 3/2*π+2πK ապա sinα = 1 cosα = 0 tgα = գ.չ. ctgα = 0

Ռադիան : Դրական և բացասական պտույտներ

Սահմանում - 1 ռադիան անկյունը այն կենտրոնական անկյունն է , որի հինման աղեղի երկարությունը հավասար է շրջանագածի շառավիղին :

Լոգարիթմական ֆունկցիա

f(x) = logax a >  a ≠ 1

11)      D(f)=(0;+∞)

22)      E(f) = R

33)      Երբ a > 1 ֆունկցիան աճող է , երբ 0<a<1 ֆունկցիան նվազող

44)      Երբ x = 1 f(1) = 0

55)      a > 1 դեպքում ֆունկցիա բացասական է (0,1) և դրական (1,+∞) միջակայքերում

Եռանկյան հիմնական նույնությունները

sinα = y cosα = x tgα = y/x ctgα = x/y

1) tgα = sinα/cosα

2) ctgα = cosα/sinα

3) tgα * ctgα = 1

4) sin²α + cos²α = 1

5) 1 + tg²α = 1/cos²α

6) 1 + ctg²α = 1sin²α

Մաթեմատիկա 2-րդ կիսամյակ

Սահմանել թվային ֆունկցիա հասկացությունը, արգումենտ և ֆունկցիա (անկախ և կախյալ փոփոխականներ) բերել ֆունկցիայի օրինակ Ձեր առօրյայից:

Թվային ֆունկցիա, սահմանում-Ասում են, որ X թվի բազմությունում որոշված է f թվայինֆունկցիան, եթե այն X բազմության ամեն մի x թվի համապատասխանեցնում է որևէ y թիվ՝ y=f(x)

X փոփոխականն անվանում են անկախ փոփոխական, իսկ y-ը՝ կախյալ փոփոխական: xփոփոխականն անվանում են նաև ֆունկցիայի արգումենտ:

Մի փոփոխականի կախվածությունը մյուս փոփոխականին, անվանում են ֆունկցիա:

Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթ, գրել բերված ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը:

f (x)= 50x (ֆունկցիա)

Պատասխան`f(x) Є (-∞,+∞)

 Եթե քառակուսու մակերեսը 80քառ.մ է, մի կողմը երկարացնում ենք 2 մետրով, ապա  փոխվում է նաև ուղղանկյան մակերեսը: Սա կախյալ ֆունկցիայի օրինակ է, քանի որ ուղղանկյան մակերեսը կախված է ուղղանկյան կողմի երկարությունից:

S=x²

S=(x+2)²

Ֆունկցիայի արժեքը արգումենտի տվյալ արժեքի դեպքում. f(x) ֆունկցիան որոշվում է հետևյալ կերպ. ցանկացած x թվի համապատասխանում է այն պարզ թվերի քանակը, որոնք փոքր են x թվից. հաշվեք f(a), որտեղ a թիվը հավասար է Ձեր ծննդյան թվի թվանշանների արտադրյալի և ծննդյան ամսվա(հունվարը 1, փետրվարը՝ 2...դեկտեմբերը՝ էթ) և ծննդյան օրվա արտադրյալի գումարին: 

a=1*9*9*9+8*21=897

f(897)=154

Ֆունկցիայի գրաֆիկ: Գրեք որևէ ֆունցիա և կոորդինատային հարթության վրա նշեք վեց կետ,որոնք պատկանում են այդ ֆունկցիայի գրաֆիկին, և չորս կետ՝ որոնք չեն պատկանում այդ ֆունցիայի գրաֆիկին:

Եռանկյունաչափության տարրեր

GeoGebra ծրագրով գծեք միավոր շրջանագիծ և այդ շրջանագծի մի շառավիղ (շառավիղը պետք է չհամընկնի կոորդինատային առանցքների հետ): Գտեք այդ շառավղի կազմած անկյունը x-երի առանցքի դրական ուղղության հետ: Գտեք այդ անկյան սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը, կոտանգեսը:

Շառավիղը տեղադրեք մեկ այլ դիրքում (շառավիղը պետք է չհամընկնի կոորդինատային առանցքների հետ): Գտեք այդ շառավիղի և x-երի առանցքի դրական ուղղության կազմած անկյան սինուսը: Հաշվեք այդ անկյան կոսինուսը, տանգենսը, կոտանգենսը: Բացատրեք, թե ինչպես հաշվեցիք:

Sinα=sin60^=  

Cosα=co`s60^=

Tgα=tg60^=

Ctgα=ctg60^=

Կա հատուկ աղյուսակ, որտեղ գրված է, թե ինչքան է sin-ը, cos-ը, tg-ը, ctg-ը: Բացի այդ, գոյություն ունի նաև հաշվելու հատուկ ձև:

Շառավիղը տեղադրեք մեկ այլ դիրքում (շառավիղը պետք է չհամընկնի կոորդինատային առանցքների հետ): Գտեք այդ շառավիղի և x-երի առանցքի դրական ուղղության կազմած անկյան տանգենսը: Հաշվեք այդ անկյան սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը, կոտանգենսը: Բացատրեք, թե ինչպես հաշվեցիք:

Sin120^=sin(90+30)=cos30= 

Cos120^=-cos(90+30)=-sin30=-  

Tg120^=-ctg(90+30)=-ctg30=

Ctg120^=-tg(90+30)=- tg30=

Ցուցչային հավասարումներ

Դիտարկենք պարզագույն ցուցչային հավասարում` a^x=b, որտեղ a>0, a≠1

Քանի որ f (x)=a^x ցուցչային ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը բոլոր դրական թվերի բազմությունն է, հետևաբար

եթե b≤0, ապա հավասարումը լուծում չունի

Օրինակ.

5+3^x=-8

3^x=-8-5

3^x=-13

Լուծում չունի

եթե b>0, ապա հավասարումն ունի մեկ լուծում:

Օրինակ.

2^x=32

2^x=2⁵

x=5

Օրինակ` սա հավասարում է, որը աստիճանի հիմնական հատկությունների օգտագործմամբ բերվում է պարզագույն ցուցչային հավասարման:

5^(9x+12)=25^(4x+62)

5^(9x+12)=5^2(4x+62)

5^(9x+12)=5^(8x+124)

9x+12=8x+124

x=112

Ստուգում. 

9*112+12=8*112+124

1020=1020

Մաթեմատիկա (նախագիծ 1)

Բնական ցուցիչներով աստիճանային ֆունկցիա

 Աստիճանային ֆունկցիա կոչվում է f(x) = x^a որտեղ a-ն 0-ից տարբեր թիվ է:

Բնական ցուցիչով ֆունկցիան աստիճանային ֆունկցիան շատ հատկություններով նման է գծային ֆունկցիային, երբ n-ը կենտ է, և քառակուսայինին` երբ n-ը զույգ է:

n-ը կենտ դեպքում, ֆունկցիայի հատկությունները`

1. Ֆունկցիայի որոշման տիրույթն անբողջ թվային առանցքն է` D(f) = (-∞; ∞)
2. Ֆունկցիան կենտ է` f(-x) = (-x)<sup>n</sup> = -x<sup>n</sup> = -f(x), հետևաբար` ֆունկցիայի գրաֆիկը համաչափ է կոորդինատների սկզբնակետերի նկատմամբ:
3. Ֆունկցիան ունի մեկ զրո` f(0) = 0
4. Ֆունկցիան դրական է, երբ x պատկանում է (0; ∞) և բացասական` երբ x պատկանում է (-∞; 0):
5. Ֆունկցիան աճում է ամբողջ թվային առանցքի վրա:

Ենթադրենք` x<sub>1</sub> < x<sub>2</sub> և համոզվենք, որ f(x<sub>1</sub>) < f(x<sub>2</sub>): Դիտարկենք երեք դեպք`
ա) 0 ≤ x₁ ≤ x₂, ապա ըստ բնական ցուցիչով աստիճանի հատկության` f(x<sub>1</sub>) ≤ f(x<sub>2</sub>):
բ) x<sub>1</sub> < 0 ≤ x<sub>2</sub>, ապա ըստ 4-րդ հատկության` f(x₁) < 0 ≤ f(x₂):
գ) x₁ < x₂ ≤ 0, ապա –x₁ > -x₂ ≥ 0, հետևաբար f(-x₁) > f(-x₂), որտեղից, ֆունցկիայի կենտությունից հետևում է, որ` -f(x₁) > -f(x₂), => f(x₁) < f(x₂):

6. Ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը ամբողջ թվային առանցքն է` E(f) = (-∞; ∞):

Ֆունկցիան անսահմանափակ է և չունի մեծագույն ու փոքրագույն արժեքներ

կենտ

զույգ

Մաթեմատիկա. ամփոփիչ նախագծեր

Պահանջարկ և ոչ գնային գործոնները

Պահանջարկը բարիքների այն քանակությունն է, որը սպառողները ցանկանում են և ի վիճակի են գնել առկա շուկայական գնի պայմաններում, կամ պահանջարկը ապրանքների և ծառայությունների նկատմամբ գնողունակ պահանջմունքն է: Ապրանքի գնի նվազման պարագայում մեծանում է դրա նկատմամբ պահանջարկը և հակառակ, գնի բարձրացումը հանգեցնում է պահանջարկի նվազման:

Պահանջարկի գործառույթ - դա գործառույթ է, որը որոշում է պահանջարկը`կախված նրա վրա ազդող գործոններից:

Պահանջարկի օրենք է կոչվում գների և պահանջարկի մեծության հակադարձ կախվածությունը:

Պահանջարկի կորը ցույց է տալիս, թե գնորդները տվյալ պահին տարբեր գներով ինչ քանակի տնտեսական բարիքներ են պատրաստ գնելու: Եթե ազդում է գնային գործոնը ապա փոփոխվում է պահանջարկի մեծությունը:

Պահանջարկի վրա ազդող գործոններ (ոչ գնային)

Սպառողների եկամուտի փոփոխություն

Ճաշակի և նախընտրությունների փոփոխություն

Գնային և դեֆիցիտային սպասումներ

Գովազդային ծախսերի փոփոխություն

Ապրանքի գնի փոփոխություն- սուբստիտուտներ , և կոմպլեմենտար ապրանքներ

Սպառողների քանակի փոփոխություն

Ոչ գնային գործոնների ազդեցության պատչառով տեղի է ունենում պահանջարկի փոփոխություն:

Փողի ֆունկցիաները

Փողի էությունը ավելի վառ ձևով դրսևորվում է նրա կատարած ֆունկցիաների միջոցով:

Փողը կատարում է հետևյալ ֆունկցիաները՝

1. արժեքի չափման ֆունկցիա

2. շրջանառության միջոցի ֆունկցիա

3. կուտակման և գանձագոյացման ֆունկցիա

4. վճարման միջոցի ֆունկցիա

5. համաշխարհային փողի ֆունկցիա:

Փողի արժեքի չափման ֆունկցիայի էությունը կայանում է նրանում, որ դրա միջոցով հնարավոր է դառնում չափել մյուսապրանքների արժեքները: Փողի այս գործառույթը կարևորագույն դեր է խաղում ամբողջ հասարակականտնտեսության կազմակերպման և գուծունեության մեջ, քանի որ միասնական չափի շնորհիվ հնարավորություն էստեղծվում չափակցելու և քանակապես համեմատելու տարբեր ապրանքների և ծառայությունների հարաբերականարժեքները, ճիշտ այնպես, ինչպես հեռավորությունը չափում ենք կիլոմետրերով կամ զանգվածը՝ կիլոգրամներով:

Փողի շրջանառության միջոցի ֆունկցիան ի հայտ է գալիս այն ժամանակ, երբ ապրանքափոխանակությունըանմիջական ձևից անցնում է միջնորդավորված ձևին: Ընդ որում, եթե արժեքի չափման ֆունկցիայի դեպքում փողիառկայությունը պարտադիր չէր, ապա այս ֆունկցիան առանց փողի հնարավոր չէ իրականացնել: Այս ֆունկցիանկատարվում է իրական փողերի միջոցով, որոնք պարտադիր չէ, որ լինեն լիարժեք փողեր: Փողի այս ֆունկցիան ապրանքարտադրողի համար հանարավորություն է ստեղծում հաղթահարել անհատական, ժամանակի և տարածքայինսահմանափակումները, որոնք բնորոշ են պարզ ապրանքափոխանակությանը: